Theoretical Physics Reference guide based on:
How to become a GOOD Theoretical Physicist by Gerard 't Hooft

English is a prerequisite. All sciences nowadays are in English.

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A function \(f(p, q, t)\) of the phase space coordinates of the system and time as total time derivative

\[ \frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \dot{p}_{i}\right), \]

often written as

\[ \frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t} + \{H, f\}, \]

where \(\{H, f\}\) is the Poisson bracket. In canonical coordinates \((q_i, p_i)\) given (any) two functions \(f(p_i, q_i, t)\) and \(g(p_i, q_i, t)\) the Poisson bracket takes the form,

\[ \{f, g\}=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right). \]

The canonical coordinates satisfy the fundamental Poisson bracket relations

• \(\left\{q^{i}, q^{j}\right\}=0\)
• \(\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0\)
• \(\left\{q_{i}, p_{j}\right\}=\delta_{i j}\)

The Poisson bracket has the following properties:

1. \(\{f, g\} = -\{g, f\}\),
2. \(\{f, c\} = 0\),
3. \(\{f, q_i\} = -\frac{\partial f}{\partial p_i}\),
4. \(\{f, p_i\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\),
5. \(\{f_1+f_2, g\} = \{f_1, g\} + \{f_2, g\}\),
6. \(\{f_1f_2, g\} = f_1\{f_2, g\} + \{f_1, g\}f_2\),
7. \(\frac{\partial}{\partial t}\{f, g\} = \left\{\frac{\partial f}{\partial t}, g\right\} + \left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}\right\}\),

In case two, \(c\) is a constant of the motion, also called an integral of the motion.

An important identity satisfied by the Poisson brackets is the Jacob identity

\[ \{f,\{g, h\}\} + \{g,\{h, f\}\} + \{h,\{f, g\}\} = 0. \]

Tem desempenhado um papel central em astrofísica e astronomia desde os anos 50 com as simulações de interações de nuvens. Essas simulações são muito populares com ciências climáticas, modelagem de previsão do tempo, contudo a astrofísica representa um desafio para a dinâmica computacional de fluidos, já que possui alguns problemas específicos não comuns na dinâmica de fluidos, como efeitos de curvatura na atmosfera de uma estrela de nêutrons por exemplo. Técnicas numéricas foram desenvolvidas na década de 80 usando métodos de elementos finitos e suas extensões como o MUSCL (Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws (van Leer, 1979)) e métodos parabólicos.

O ponto central das simulações hidrodinâmicas é descrito por meio das equações de Navier-Stokes, que expressa a conservação da massa, momento-energia em fluído. No contexto de astrofísica, a compressibilidade e efeitos relativísticos. Essas equações são equações diferenciais parciais. As equações de Navier-Stokes podem ser combinadas com as equações de Maxwell para simulações de magneto-hidrodinâmica.

Essas equações não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis, mas sim entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. A equação da continuidade, conservação da massa pode ser escrita como:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} = \nabla\cdot(\rho \vec{v}) = 0;\]

onde \(\rho\) é a densidade do fluido e \(v\) sua velocidade. A equação de conservação de momento pode ser escrita como:

\[ \frac{\partial}{\partial t} (\rho v_i) + \nabla \cdot (\rho v_i \vec{v}) = \rho f_i \]

aqui \(\rho f_i\) é a i-ésima componente da força autuando sobre o fluído. Esta equação dá conta de mudanças no momento devido a forças externas que podem ser estendidas para levar em conta campos magnéticos (pela força de Lorentz), gravidade, gradientes de pressão. Esta equação também pode ser escrita como:

\[ \frac{\partial }{\partial t} (\rho \vec{v}) + \nabla \cdot (\rho\vec{v}\otimes v) = -\nabla p + \nabla\cdot \zeta + \rho f \]

com \(\zeta\) sendo viscosidade/tensor de stress

Há ainda a equação para troca de energia, em cenários astrofísicos isso pode ser bem complexo, requerendo termos adicionais ao considerar a primeira lei da termodinâmica \(Q = w + \delta U\); termos de convecção, difusão, dissipação, pressões realizado trabalho devem ser consideradas. Podemos escrever a equação para energia como:

\[ \frac{\partial E}{\partial t} + \nabla ((E + D) V) = \rho vg + Q + \nabla (k\nabla T)\]

onde \(E\) é a densidade de energia \(k\) a condutividade térmica, \(T\) temperatura, \(Q\) calor "viscoso".

Contudo estas equações estão de formas gerais, dependendo do sistema a ser modelado, equações adicionais são necessárias, como equações para processo radiativos, reações químicas, sistemas auto-gravitantes, etc.

As formulações das equações de hidrodinâmica podem ser Lagrangeanas (como as anteriores) se acompanham o movimento das partículas e se vê mudanças de grandezas nelas. Já o sistema euleriano, verifica-se um ponto no espaço e verifica mudanças neste ponto.

Métodos numéricos levam em conta essas formulações e podem fazer uso das duas por meio do teorema de Reynolds.

Para resolver as equações hidrodinâmicas diferentes métodos são empregados, os mais comuns são métodos de diferenças finitas, as derivadas são diferenças em um grid; métodos de volumes finitos, que considera a integração das equações em uma célula, as conservações são satisfeitas integrando fluxos. Método SPH (Smoothed-particle hydrodynamics) que é uma técnica para aproximar o continuum de fluídos por meio de partículas, cada partícula tem informação de massa, posição, velocidade e outras propriedades, as propriedades em qualquer ponto no espaço são dadas por interpolações dos pontos vizinhos; este método foi originalmente desenvolvido para astrofísica (Lucy, Gingold e Monaghan, 1977) e desde então tem sido aplicado em outras áreas das ciências.

A principal ideia do SPH é tratar a hidrodinâmica de uma maneira sem grides como no caso de elementos finitos. As equações são desenvolvidas levando em conta partículas, que deixa o sistema simples, com uma formulação de dinâmica de gás. Na representação SPH as quantidades conservadas são bem definidas. É uma formulação Lagrangeana, onde uma regiãolocal do SPH segue o fluxo de massa automaticamente, uma propriedade importante em sistemas astrofísicos com mudanças altas de densidade. Devido às suas particularidades e a facilidade de usar rotinas prontas para simulações cosmológicas em conjunto, este método se tornou popular em uma grande range de problemas em astrofísica, desde estruturas cosmológicas até estudos de colisões de protoplanetas. No coração do método SPH está a ideia de kernel interpolador, uma técnica para estimar o valor de uma função real como a média ponderada dos dados vizinhos à região. A extensões do SPH incluem modelaggem de campos magnéticos, fenômenos de transporte, processos radiastivos. O método também precisa ser extendido para considerar velocidades relativísticas. As aplicações do SPH incluem: formação de estruturas cosmológicas, estas simulações são usadas para o estudo de formação de galáxias em contexto cosmológico complexo, advindo de flutuações do cenário inflacionário; fusão de galáxias, a teoria hierárquica prediz a fusão constante de galáxias e a criação de grandes sistemas; em escalas mais baixas, muitas simulações SPH são feitas para estudar fragmentação de nuvens, formação de estrelas; formação de planetas e discos de acreção. O método tem sido aplicado com sucesso em formação gigantes e fragmentação de discos proto-planetários.

Agora o outro método popular é o refinamento por método adaptativo (AMR), é um método que usa a representação euleriana, este método é usado quando a dinâmica acontece em grandes ranges espaciais. Este método é um dos principais ingredientes em relatividade geral numérica. Em simulações numéricas de fusão de dois corpos, em geral

In relativistic expressions four-vectors are written as

\[ A^{\mu} = (A_0, \vec{A}) = (A_0, A^1, A^2, A^3). \]

Four-vectors with superscript are called contravariant vectors (regarded as a column vector). Covariant vectors, denoted by subscript are defined as

\[ A_{\mu} = g_{\mu\nu}A^{\nu}, \]

with the metric tensor \(g_{\mu\nu}\) that reads in Cartesian coordinates in Minkowski space.

\[ \eta_{\mu \nu}=\eta^{\mu \nu} = {\rm diag}(1, -1, -1, -1); \qquad \eta^{\mu}{ }_{\nu}=\delta^{\mu}{ }_{\nu} = {\rm diag}(1, 1, 1, 1) \]

Raising and lowering indices:

\[ A^{\mu}=\eta^{\mu \nu} A_{\nu}; \qquad A_{\mu}=\eta_{\mu \nu} A^{\nu}; \]

Einstein summation convention:

\[ A^{\mu}B_{\mu} = A^0B_0 + A^{1}B_{1} + A^2B_2 + A^3B_3 = A^0B^0 - \vec{A}\cdot\vec{B}. \]

The inverse of the metric tensor is given by

\[ g^{\mu\nu} = g_{\mu\nu}. \]

A scalar product of two four-vectors is then defined by

\[ A \cdot B = A_{\mu}B^{\mu} = A^{\mu}B_{\mu} = A^0B^0 - \vec{A}\cdot\vec{B}. \]

The invariant square of the four-vector is thus

\[ A^2 = A_{\mu}A^{\mu} = A_0^2 - \vec{A}^2. \]

\[ A'_{\mu} = \Lambda_{\mu}{}^{\nu}A_{\nu}; \qquad A'^{\mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}A^{\nu}; \\ \eta^{\mu\nu} = \Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\Lambda^{\nu}{}_{\beta}\,\eta^{\alpha\beta}; \qquad \eta_{\mu\nu} = \Lambda_{\mu}{}^{\alpha}\Lambda_{\nu}{}^{\beta}\,\eta_{\alpha\beta}. \]

• Properties:
  1. \[\eta^{\mu \nu}=\Lambda_{\alpha}^{\mu} \Lambda_{\beta}^{\nu} \eta^{\alpha \beta}\]
  2. \[ \left|\operatorname{det} \Lambda_{\nu}^{\mu}\right|=1 \]
  3. \[ \left(\Lambda_{1}\right)^{\mu} \alpha\left(\Lambda_{2}\right)_{\nu}^{\alpha}=\left(\Lambda_{12}\right)_{\nu}^{\mu} \]
  4. \[ \left|\Lambda_{0}^{0}\right| \geq 1 \]

The WKB approximation (named after Wentzel, Kramers and Brillouin) is a method for obtaining an approximate solution to a time-independent differential equation. Applications include: calculating bound-state energies and tunneling rates through potential barriers.

Solving the Schrödinger equation: It is a non-linear second order differential equation (ODE), in general, no analytic solution, an approximation method is usually applied to tackle the problem. The WKB approximation makes an assumptions of a slowly varying potential. See Boxi Li's note `https://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wolschin/qms17_7s.pdf` if the link is broken, you can access the copy in `https://www.rvlobato.com/teaching/notes/pdfs/wkb.pdf`, more about WKB applied to tunneling `https://www.rvlobato.com/teaching/notes/pdfs/wkb_tunneling2.pdf`

\[ \nabla^2\phi - m^2\phi = E^2\phi \]

Lagrangian Walecka model

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\sigma\partial^{\mu} - m_{\sigma}^2\phi^2) \]

Particles classification

• Baryons -> Fermions with half-integral spin (1/2, 3/2, …), Composed of 3 quarks. The lowest mass baryons are the proton and the neutron.
• Meson -> Bosons with integral spin (0, 1, 2, 3, …). Composed of a quark + a anti-quarks.

From Einstein tensor, one can have

\[ G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} \] the field equation for the metric. The right-hand side is a covariant expression of the energy-momentum density (symmetric (0, 2) tensor). The left-had side is a symmetric conserved (0 , 2) tensor from the metric and its derivatives.

The standard Schwarzschild coordinates are introduced by a chart applied to the manifold \(\cal{M}\).

The metric tensor of the Lorentzian manifold \(\cal{M}\)

\[ g = \left( \frac{2 \, m}{r} - 1 \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{1}{\frac{2 \, m}{r} - 1} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + r^{2} \mathrm{d} {\theta}\otimes \mathrm{d} {\theta} + r^{2} \sin\left({\theta}\right)^{2} \mathrm{d} {\phi}\otimes \mathrm{d} {\phi} \]

• Christoffel symbols of \(g\) with respect to the Schwarzschild-Droste coordinates (the nonzero and nonredundant ones) are

  \begin{array}{lcl} \Gamma_{ \phantom{\, t} \, t \, r }^{ \, t \phantom{\, t} \phantom{\, r} } = -\frac{m}{2 \, m r - r^{2}} \\ \Gamma_{ \phantom{\, r} \, t \, t }^{ \, r \phantom{\, t} \phantom{\, t} } = -\frac{2 \, m^{2} - m r}{r^{3}} \\ \Gamma_{ \phantom{\, r} \, r \, r }^{ \, r \phantom{\, r} \phantom{\, r} } = \frac{m}{2 \, m r - r^{2}} \\ \Gamma_{ \phantom{\, r} \, {\theta} \, {\theta} }^{ \, r \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\theta}} } = 2 \, m - r \\ \Gamma_{ \phantom{\, r} \, {\phi} \, {\phi} }^{ \, r \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\phi}} } = {\left(2 \, m - r\right)} \sin\left({\theta}\right)^{2} \\ \Gamma_{ \phantom{\, {\theta}} \, r \, {\theta} }^{ \, {\theta} \phantom{\, r} \phantom{\, {\theta}} } = \frac{1}{r} \\ \Gamma_{ \phantom{\, {\theta}} \, {\phi} \, {\phi} }^{ \, {\theta} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\phi}} } = -\cos\left({\theta}\right) \sin\left({\theta}\right) \\ \Gamma_{ \phantom{\, {\phi}} \, r \, {\phi} }^{ \, {\phi} \phantom{\, r} \phantom{\, {\phi}} } = \frac{1}{r} \\ \Gamma_{ \phantom{\, {\phi}} \, {\theta} \, {\phi} }^{ \, {\phi} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\phi}} } = \frac{\cos\left({\theta}\right)}{\sin\left({\theta}\right)} \end{array}

• Relativistic cosmology. George F.R. Ellis, Roy Maartens, Malcolm A.H. MacCallum
• Cosmological Inflation and Large-Scale Structure. Liddle, A., & Lyth, D.
• The Primordial Density Perturbation: Cosmology, Inflation and the Origin of Structure. David H. Lyth and Andrew R. Biddle
• Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Hans Stephani